Faktör Analizi – 2 (Devamı)

Yazının Öncesi için Tıklayınız.

6.1.1 FAKTÖR ANALİZİ İLE TEMEL BİLEŞENLER ANALİZİ ARASINDAKİ BENZERLİKLER
Yukarıdaki ayrıntılı ifade edildiği gibi faktör analizi de temel bileşenler analizi gibi veri setini,başlangıçtaki boyuttan daha küçük sayıda boyutla açıklamayı amaçlayan çok değişkenli bir analizdir. Temel bileşeler analizinde olduğu gibi faktör analizinde de orijinal değişkenlerden, bağımsız yeni değişkenlerin elde edilmesi çoğu kez birincil amaç olabilmekle birlikte bu iki teknik arasında bazı önemli farklılıklar vardır. Bu farklılıklardan ilki temel bileşeler analizinde,verilerin kovaryans matrisinin biçimi üzerinde herhangi bir varsayım yapılmaksızın verilerin dönüşümünü amaçlarken, faktör analizinde verilerin (1.3) de tanımlanmış bir modele uyduğu varsayılmaktadır. Ve bu varsayım ortak faktör ile özel faktörlerin aşağıdaki koşulları sağlama zorunluluğunu gerektirmektedir.

E(f) =0;Var(f)=I E(u)=0; Kov( )=0 iken Kov(f,u)=0

Bu koşulların sağlanması durumunda faktör analizinden doğru olmayan sonuçlara ulaşılabilmektedir.
İkinci farklılık ise temel birleşenler analizin, gözlenmiş değişkenlerden temel bileşenlere Y= biçimindeki bir dönüşümü hedef alırken,faktör analizinde belirlenmiş faktörlerden gözlenmiş değişkenlere Z=AF biçimindeki dönüşüm öngörülmektedir.
Ayrıca, faktör analizinin ölçekten bağımsız olması her bir faktörün varyansları 1 olacak biçimde standartlaştırılmış olması, temel bileşenler analizinden farklı olduğu diğer iki noktadır.

6.1.2 FAKTÖR DÖNDÜRMESİ VE KAVRAMSAL ANLAMLILIK
Daha önceki alt bölümlerde, iyi bir faktör analizi sonucunun indirgenmiş boyut, yaklaşık bağımsızlık ve kavramsal anlamlılık koşullarını sağlaması gerektiği söylenmişti. Şu ana kadar ilk iki koşuldan söz edildi. Şimdi ise faktör analizinin ikinci aşaması olan kavramsal anlamlılığı sağlatmak için elde edilen faktörlerin döndürülmesi konu edilecektir.
Faktör döndürmesi, elde edilen faktörleri daha iyi yorum verebilecek biçimde (kavramsal anlamlılık) yeni faktörlere çevirme olarak ifade edilebilir. Kavramsal anlamlılık göreceli ve çok soyut bir kavramdır. Döndürmedeki amacı daha somut bir biçimde ifade edilebilmek için Thurstone tarafından değiştirilen basit yapı kavramından söz etmek gerekir. Basit yapı için öngörülen beş koşul aşağıdaki gibidir:
- Faktör matrisinin her bir satırında en az bir tane sıfır değeri olmalıdır.
- Faktör matrisinde m tane ortak faktör var ise her bir sütunda en az m tane sıfır değeri bulunmalıdır.
- Faktör matrisindeki her bir faktör çiftinin birinde yük değeri görülürken ötekinde görülmemelidir.
- Faktör matrisindeki her bir faktör çifti için (faktör sayısı dört ya da daha çok iken) değişkenlerin büyük çoğunluğunun yük değeri sıfır olmalıdır.
- Faktör matrisindeki her bir faktör çifti için (faktör sayısı dört ya da daha çok iken) sadece az sayıda değişkenin yük değeri olmalıdır.
Özellikle ilk üç tanesi çok önemli olan bu beş koşuldan aşağıdaki gibi hipotetik bir matrise ulaşılmaktadır. H matris sudur,


(1.11)

Bu konudaki bir başka somut gösterge ise Ferguson başta olmak üzere birçok araştırmacı tarafından geliştirilen ve birçok farklı ifadesi bulunan “Parsimony Ölçüsü”dür. Konudaki anlamıyla parsimony kavramı; olabildiğince az sayıda boyutla (faktör) p değişkenli sistemin açıklanmasıdır. Genel olarak Parsimony Ölçüsü (PÖ),

(1.12)

biçiminde gösterilmektedir ve bu değerin minimum olduğu duruma en iyi çözüm adı verilmektedir. Ayrıca A ilk faktör matrisi, D dönüşümden sonra ulaşılan faktör matrisi, T dik dönüşüm matrisi olmak üzere (1.8) nolu eşitlikle verilmiş olan,

D=AT=

Bağlantısından yaralanan Ferguson (PÖ) değeri,

MaxPÖ= (1.13)

biçiminde tanımlanmıştır.
Faktör analizinde döndürmeler basit yapıya ulaşmayı garanti etmediği gibi döndürmeden sonra elde edilecek faktör sonuçları, elde edilen ilk faktör sonuçlarından daha kötü de olabilmektedir.


6.2 DÖNDÜRME TÜRLERİ
Faktör döndürmesinde iki yöntem kullanılmaktadır.Bunlardan ilki eksenlerin konumlarını değiştirmeden, yani 90’lık açı ile döndürmedir.Buna dik(ortogonal) döndürme adı verilir.İkinci yöntemde ise her faktör birbirinden bağımsız olarak döndürülür.Eğik döndürme adı verilen bu yöntemde eksenlerin birbirlerine dik olması gerekli değildir.Bu durumda, dik döndürmede sadece θ gibi bir döndürme açısına ihtiyaç duyulurken, eğik döndürmede θ1 ve θ2 gibi ki farklı açı bulunmaktadır.Sonuç olarak, iki döndürme yöntemi arsındaki en önemli istatistiksel farklılık; ilkinde faktörler ilişkisiz(dik bağımsız) iken, ikincisinde bu koşul göz önüne alınmamaktadır.
Faktör analizinde, elde edilen ilk faktörlerin döndürülmesindeki asıl amacın daha iyi yorum veren basit yapıya ulaşmak olduğu söylenmişti.Bunun yanısıra başka gerekçelerde sıralanabilir.Bu gerekçeler genel olarak;
-Basit yapıya ulaşma
-Boyut indirgeme
-Hipotetik yapı bulma
-Nedensellik analizi
biçiminde sıralanabilir.Aslında pek çok ilişkili değişkenden az sayıda ilişkisiz ve kolay yorumlanabilir faktörlere ulaşmak, faktör analizinin temel amacı olduğuna göre, faktörler tarafından açıklanan varyans miktarının döndürmeden etkilenmemesi istenir.Bu istem dik dönüşümleri ön plana çıkartır.Ancak, bazı durumlarda dik döndürme en iyi faktör kümesine ulaşmakta yeterli olamamaktadır.Bu durum, araştırmacıların bekledikleri özellikleri tam olarak vermediği için döndürmeden amaçlanan basit yapıya ve anlamlı faktörlere ulaşılamamaktadır.Böyle durumlarda eğik döndürme gündeme gelmektedir.Sonu olarak, faktörlerin dikliğinden belli ölçüde fedakarlık yapılması durumunda eğik döndürme ile daha anlamlı ve daha kolay yorumlanabilir basit yapı sonuçlarına ulaşılabilinmektedir.Birçok araştırmacı, eğik döndürmenin dik döndürmeden her zaman daha üstün olduğunu savunmakta ve bu üstünlükleri şöyle sıralanmaktadır:
- Bazı durumlarda diklik bir koşul olmadığı için daha yüksek yüklü basit yapı verir.
- Dik faktörlerde yükler -1 ile +1 arasındadır.Eğik döndürmede bazı yüklerin 1’den büyük olması durumları ile de karşılaşılabilir.Bu değerler 1 olarak değerlendirilir ve yüklerin mükemmel olduğu anlamına gelir.
Eğik döndürmenin bu üstünlüklerinin yanı sıra bazı zayıf yönleri de bulunmaktadır.Bu yönler ise şöyle sıralanabilir:
-Değişkenlere ilişkin ortak varyans dik dönüşümlerde olduğu gibi doğrudan hesaplanamamaktadır.
-Her faktörün açıkladığı varyans miktarı dik dönüşümlerde olduğu gibi sütunlardaki yüklerin kareleri toplamından elde edilmemektedir.
Daha öncede belirtildiği gibi faktör döndürmede genel olarak iki yöntem izlenmektedir.Bunlardan ilki grafik yada geometrik döndürmedir.Bu yöntem;zaman kaybettirici , subjektif ve şansa bağlı sonuçlar vermesi nedeniyle pek önerilmemektedir.Analitik döndürme olarak bilinen ikinci yok ise asıl döndürme yöntemi olarak bilinir.Bu gruba giren yöntemler dik ve eğik yöntemler olarak iki alt grupta incelenir.

6.2.1.Dik Döndürme Yöntemleri
Faktörleştirme yöntemlerinden herhangi biri kullanılarak diklik koşulu altında A ile gösterilen faktör yükleri matrisinin elde edilmesinden söz edilmişti.Elde edilen faktörlerin daha anlamlı sonuçlar vermesi için faktörlerden her seferinde m-2 tanesi sabit tutularak ikişer ikişer diklik özelliği bozulmayacak biçimde döndürülmesini ağlayan pek çok dik döndürme algoritmaları geliştirilmiştir.Bunlar arasında en yaygın kullanılanları; Quartimax, Varimax, Orthomax, Biquartimax ve Equamax algoritmalarıdır.

Quatimax Yöntemi:
İki faktör olması durumlarında en iyi sonuç veren yöntemlerde biri olan quartimax yönteminde basit yapıya ulaşmada faktör yükleri matrisinin satırları göz önünde bulundurulur.Yani, her satırdaki herhangi bir değer büyütülüp 1’e yaklaştırılırken, öteki değerler küçültülerek 0’da yaklaştırılır.Burt tarafından önerilen bu yöntemde faktör yüklerinin dördüncü kuvvetlerinin maksimizesi hedeflenir

Max Q= (1.17)

Ayrıca bu amaçla Saunders tarafından önerilen basıklık katsayısının maksimizesi de kullanılmaktadır.

Max K= (1.18)

Bu döndürme yönteminde kullanılan Q ve K fonksiyonlarına çok benzeyen ve başka araştırmacılar tarafından geliştirilmiş M ve N fonksiyonları da bulunmaktadır ve benzer sonuçlar vermektedir.

Varimax Yöntemi:
Basit yapıya ulaşmada faktör yükleri matrisinin sütunlarına öncelik veren bu yöntemde, her sütundaki bazı yük değerleri 1’e yaklaştırılırken geriye kalan çok sayıdaki yük değeri 0’a yaklaştırılır.Kaiser tarafından önerilen yöntem quartimax yönteminin bir modifikasyonudur.Varimax yönteminde de, faktör varyanslarının maksimum olmasını sağlayacak biçimde döndürme yapılır.Bu amaçla geliştirilen V fonksiyonunun maksimum olması hedeflenir.

Max V=p (1.19)

Orthomax Yöntemi:
Bu yöntem Quartimax ve Varimax yöntemlerinde kullanılan Q ve V fonksiyonlarından elde edilen R fonksiyonunun maksimum yapılması esasına dayanır.

Max R =Αq+Βv= (1.20)

Yukarıda verilen fonksiyonlardan da anlaşılabileceği gibi, R fonksiyonunun öteki fonksiyonlarla doğrusal ilişkisi vardır.Nitekim R fonksiyonundaki γ katsayısına belli değerler verilmesi durumunda, öteki fonksiyonlara geçiş söz konusudur.Örneğin,Othomax yöntemi ; γ=0 alınırsa Quartimax yöntemi, γ=1 alınırsa Varimax yöntemi, γ=0.5 alınırsa Biquartimax yöntemi ve γ=m/2 alınırsa Equamax yöntemi adına alır.Bu yöntemlerden özellikle Equamax yöntemi basit yapıya ulaşmada faktör matrisinin satır ve sütunlarındaki yük değerlerini birlikte ele aldığı için pratikte çok kullanılır.


6.2.2.Eğik Döndürme Yöntemleri
Daha önce kısmen değinilen eğik döndürme yöntemleri son yıllarda çok kullanılan ve daha iyi sonuçlar veren yöntemlerdir.Eğik döndürmeye karar verilmesi durumunda araştırmacının faktör yüklerinin yorumlanmasında izleyeceği iki yol bulunmaktadır.Değişkenleri gösteren her bir noktanın döndürülmüş eksenler üzerindeki izdüşümlerinin yorumlanmasına ilişkin olan bu yollardan ilkinde;verilen noktaların eksenler üzerindeki izdüşümleri eksenlere paralel doğrularla bulunur ki bu yük değerlerine örüntü yükleri adı verilir.İkinci yolda ise noktaların eksenlere izdüşümleri bu eksenlere dik doğrularla bulunur ki bu durumda dönüştürülmüş eksenler üzerindeki yük değerlerine yapı yükleri adı verilir ve orijinal değişenlerle faktörler arasındaki gerçek ilişkiyi gösteren katsayılardır.
Bu durumda A elde edilen ilk faktör yükleri matrisi, T temel eksene göre dönüşüm matrisi olmak üzere P=(dij) temel eksen örüntü yükleri matrisi,

P=AT=(dj1);1,...,p ve 1=1,...,m için biçiminde elde edilir.

Eğik döndürmenin bir başka özelliği de, orijinal ya da temel eğik çözümlerden düzeltilmiş ya da kaynak çözüme geçilebilmesidir. Düzeltilmiş çözüme ulaşabilmek için önce kaynak eksenler oluşturulur. Kaynak eksen oluşturmadaki amaç, basit yapıya ulaşıldığında daha çok sayıda sıfır değerli elemanları olan bir matrisin elde edilmek istenmesidir yani temel eksenlerin tersine bir durum söz konusudur.Aşağıdaki şekilde kaynak eksenlerin temel eksenlerden ede edilmesi gösterilmektedir.
Gerçek ilişki katsayıları olmamalarına karşın, döndürülmüş eksenlerin yorumunda kaynak yapı yükleri daha sık kullanılmaktadır.A, elde edilen faktör yükleri matrisi, Λ kaynak eksen döndürme matrisi olmak üzere, V=(vjl) ile gösterilen kaynak eksen yapı yükleri matrisi,

P=AT=(dj1); j=1,...........,p ve l=1,..............,m için (1.21)
biçiminde elde edilir.
Eğik döndürmenin bir başka özelliği de, orijinal ya da temel eğik çözümlerden düzeltilmiş ya da kaynak çözüme geçilebilmesidir. Düzeltilmiş çözüme ulaşabilmek için önce kaynak eksenler oluşturulur.Kaynak eksen oluşturmadaki amaç, basit yapıya ulaşıldığında daha çok sayıda sıfır değerli elemanları olan bir matrisin elde edilmek istenmesidir.Temel eksenlerin tersine bir durum söz konusudur.Kaynak eksenlerin temel eksenlerden ele edilmesi gösterilmektedir.
Gerçek ilişki katsayıları olmamalarına karşın, döndürülmüş eksenlerin yorumunda kaynak yapı yükleri daha sık kullanılmaktadır.A, elde edilen faktör yükleri matrisi, Λ kaynak eksen döndürme matrisi olmak üzere, V=(vjl) il gösterilen kaynak eksen yapı yükleri matrisi,
V=AΛ=(vj1); j=1,..., p ve 1=1,...,m için (1.22)
Bağıntısından bulunmaktadır.
Temel ve kaynak eksenlerin kullanıldığı çok sayıda eğik döndürme algoritması bulunmaktadır.Bu yöntemler arasında en yaygın kullanılanları;Oblimax, Quartimin, Covarimin, Biquartimin, Oblimin ve Binoramin yöntemleridir.

Oblimax Yöntemi:
Saunders tarafından geliştirilen yöntem, W ile gösterilen basıklık katsayısının maksimum yapılması esasına dayanır.

Max W= (1.23)

Quartimin Yöntemi:
Carroll tarafından önerilen yöntemde,faktör yükleri karelerinin çarpımlar toplamının minimum olması amaçlanmaktadır.
Oblimax yönteminin sonuçlarına çok yakın sonuçlar veren bu yöntem, hesaplama güçlüğü nedeniyle pek tercih edilmemektedir.
Min N= (1.24)

Covarimin Yöntemi:
Yine Caroll tarafından geliştirilen yönteminde C ile tanımlanan fonksiyonu minimum yapacak kaynak eksen yapı değerleri bulunmaya çalışılmaktadır.

Min C= (1.25)

Biquartimin Yöntemi:
Bu yöntemde Quartimin ve Covariin yönteminde kullanılan fonksiyonlardan yararlanılmaktadır.N ve C sırasıyla Quartimin ve Covarimin fonksiyonları, p ise değişken sayısı olmak üzere, Y ile tanımlanan Biquartimin fonksiyonun minimum olması amaçlanır.

Min Y=N+ (1.26)

Oblimin Yöntemi:
Oblimin yöntemi Caroll tarafından geliştirilmiştir.Yöntemde yine N ve C sırasıyla Quartimin ve Covarimin fonksiyonları olmak üzere; β1 ve β2 özel bir yolla elde edilen ağırlık katsayıları iken M ile tanımlanan Oblimin fonksiyonunun minimum olması amaçlanır.

Min M= (1.27)

Binoramin Yöntemi:
Dickman tarafından önerilen yöntem, Oblimin yönteminin özel bir türüdür ve son yıllrda en çok kullanılan yöntemlerden biridir.Yöntemde E ile gösterilen fonksiyonunun minimum olması amaçlanır.

Min E= (1.28)

Eğik döndürmede, yukarıda verilenler dışında daha pek çok yöntem bulunmaktadır. Bunlar arasında:Promax, Maxplane, Direkt Oblimin ve Orthoblique yöntemleri en çok kullanılanlardır.
Sonuç olarak, dik ve eğik döndürme yöntemlerinden hangisinin seçileceği ve hangi algoritmalarla döndürme yapılacağı konusunda kesin bir şey söylemek mümkün değildir.Bu nedenle, seçim büyük ölçüde araştırmacının deneyimine ve verilerin yapısına bağlıdır.Ancak, dik döndürme yöntemi olarak Equamax ve eğik döndürme olarak da Biquartimin yönteminin seçilmesi önerilmektedir.

6.3.Faktör Bulma Yöntemleri:
Hesaplama kolaylığı nedeniyle çoklu gruplandırma yöntemi ve ardışık çoklu gruplandırma kullanılarak faktör yüklerinin bulunmasından ve bazı özelliklerden söz edilecektir.

6.3.1.Çoklu Gruplandırma Yöntemi:
Bir faktör, orijinal değişkenlerin doğrusal bileşkesidir.Yani faktörler değişken uzayındaki vektörlerden başka bir şey değildir.Bu durumda, orijinal değişkenlerin çeşitli gruplara bölündüğü, her faktörün orijinal değişken grubunun ortalamalarından geçtiği ve tüm faktörlerin çok az bir kayıpla değişken uzayını kapsadığı düşünülsün.Bu mantık neticesinde elde edilecek sonuçların tek olumsuzluğu faktörlerin birbirinden bağımsız olmamasıdır.Ancak, elde edilen sonuçların 1.8 ve 1.9 ile verilen dönüşümlerle dik faktör yükleri matrisine dönüştürülebilmesi, çoklu gruplandırma yöntemini ön plana çıkarmaktadır.Çoklu gruplandırma yönteminin diğer avantajları ise şöyle sıralanabilir:

- Orijinal verilerin gruplanmasına ilişkin önsel hipotezlerin testinde çek kullanışlıdır.
- Tek artıklar matrisi kullanılarak tüm faktörler aynı anda bulunabilmektedir.
- Faktör bulma yöntemi ardışık olarak uygulanabilmektedir.
Çoklu gruplandırma yönteminde kullanılan hesaplamalar ve ifadeler1952 yılında Guttman tarafından geliştirilmiştir.Bu yöntemde işe, korelasyon matrisindeki ilişki katsayılarının incelenesi ile başlanır.Örneğin, 4 boyutlu uzay için aşağıdaki korelasyon matrisi tanımlamış olsun.

(1.29)

Burada birinci ile ikinci değişkenler arasındaki ilişkinin (r12) ve üçüncü ile dördüncü değişkenler arasında ilişkinin (r34) en yüksek olduğu düşünülsün.Bu durumda yazılabilecek hipotezler şöyledir:

Hipotez 1:Birinci ve ikinci değişkenler bir grup oluştururlar.Yani faktör1 (f1) bu iki değişkenin doğrusal bileşkesidir.z1 ve z2 standartlaştırılmış değişkenler iken bu durum f1=z1+z2 biçiminde gösterilir.

Hipotez 2:Üçüncü v dördüncü değişkenler bir grup oluştururlar yani faktör2 (f2) bu iki değişkeni doğrusal bileşkesidir. z3 ve z4 standartlaştırılmış değişkenler iken bu durum f2=z3+z4 biçiminde gösterilir.
Daha önce belirtildiği gibi j değişkeni ile k faktörü arasındaki yapı değeri, j değişkeni ile k faktörü arasındaki korelasyon olarak tanımlanır ve k ıncı grup değişkenlerinin toplamı biçiminde aşağıdaki gibi yazılır.

(1.30)

Burada toplam,k ıncı gruptaki değişken sayısı kadardır.Ayrıca eğer zj değişkenlerinin standart olduğunda düşünülecek olursa, Var(zij)=1’dir.

(1.31)

olarak yazılabilir.Örneğin; birinci faktör (k=1) ile üçüncü değişken (j=3)arasındaki korelasyon,

(1.32)

biçiminde bulunur.Ayrıca, E(zj)=0 olduğu bilindiğine göre ,

(1.33)

Sonucuna ulaşılır.Sonuç olarak pay korelasyon matrisinin üçüncü satırın ilk 2 elemanının toplamı,payda ise birinci ve ikinci satırların ilk 2 elemanların toplamıdır.Bu biçimde tüm sjk değerleri bulunabilir.

6.3.1.a Korelasyon Matrisinin ve Artıklar Korelasyon Matrisinin Yeniden Elde Edilmesi:
Yukarıda tanımlanan H hipotezine göre birinci gruptaki değişkenlerin ikinci gruptaki değişkenlerin ikinci gruptaki değişkenlerden bağımsız oldukları söylenebilir.Bu durumda R ve S matrisleri yandaki biçimde blok köşegen matrisleri olacaktır.O halde köş( ) eşitliği yazılabilecektir.Bu nedenle (1.38) eşitliğinden;

(1.40)

yazılabilecektir. matrisi simetrik bir matris olduğu için,

(1.41)

yazılabilir.Bu eşitlik sağdan H matrisi ile çarpılacak olursa,

(1.42)

sonucuna ulaşılır.Bu eşitlik de yine ile çarpılırsa

(1.43)

bulunur.
Pratikte değişkenlerin tam anlamıyla birbirinden bağımsız olmaları mümkün olmadığı için matrisi R matrisine tam anlamıyla eşit olmamakta,ancak R matrisine yeniden bulunmuş korelasyon matrisi adı verilir ve

biçiminde gösterilir. R asıl ilişki matrisi ile yukarıda tanımlanan matrisi arasındaki farka da artıklar matrisi adı verilir ve

biçiminde ifade edilir.

6.3.1. Çoklu Gruplandırma Yönteminin Uygunluğunun Testi:
Diğer istatistiksel analizlerde olduğu gibi, elde edilen sonuçların tahmin edici, kabul edilebilir olup olmadığının test edilmesi gerekir.Bu nedenle çoklu gruplandırma yöntemi ile elde edilen sonuçların kabul edilebilirliğinin sayısal olarak test edilmesi gerekir.Sonuçların test edilmesi, faktör bulmada izlenen yol ne olursa olsun yaklaşık aynıdır.Nitekim, faktör analizinin öteki faktör bulma yöntemlerinde olduğu gibi, çoklu gruplandırma yönteminde de bulunabilecek maksimum faktör sayısı p’dir ve p korelasyon matrisinin rankıdır.Korelasyon matrisinin pxp boyutlu ve tam ranklı olduğu varsayılmaktadır.
Sonuç olarak, eğer (1.45) eşitliğinde verilmiş olan artıklar matrisi pxp boyutlu sıfır matrisine yakın ise korelasyon matrisinin faktörleştirilmesinin iyi olduğu düşünülür.Ancak faktörleştirmenin iyi olup olmadığına ilişkin daha somut bazı yaklaşık yöntemler de bulunmaktadır.Bu yöntemler şunlardır:

Artık Matrisinin t Testi ile Test Edilmesi:
Artıklar matrisinin elemanlarının 0 ortalama σ2 varyansı ile normal dağıldığı (eij~N(0; σ2) düşünülecek olursa, artıkların normal dağılıma uyumu t testi ile incelenebilir ve bu amaçla karşılaştırmada kullanılacak değer (p(p+1)/2)-1 serbestlik dereceli t tablo değeridir.Ayrıca artıklar matrisi simetrik olacağından, sadece alt ya da üst üçgende bulunan değerlerin kullanılması ile de test işlemi gerçekleştirilebilir ve bu yolla hesaplama işlemleri azaltılmış olur.Sonuç olarak, artık ortalamaların sıfır olacağı hipotezi kabul edilirse,faktörleştirmenin iyi olduğu söylenebilir.

Artık Matrisinin Testinde Parametrik Olmayan bir Test:
Artık matrisindeki elemanların dağılımının tam olarak bilinmediği düşünülecek olursa,sıfır ortalama ile normal dağılımlı olacağı gibi iddialı bir varsayımla yola çıkmak ve parametrik bir test uygulamak genellikle sorun yaratmaktadır.Bu nedenle, varsayım gerektirmeyen parametrik olmayan bir test ile artıkların sıfıra yakın bir ortalamaya sahip olduğu hipotezi test edilebilir.Örneğin,Wilcoxon işaret testi bu amaçla seçilebilecek uygun bir testtir.Bu testte ortancanın sıfır ya da sıfıra yakın bir değer olması durumunda bile karar vermek mümkündür.

Ortak Varyansların İncelenmesi:
A ile gösterilmiş olan pxm boyutlu faktör yükleri matrisi bulunduktan sonra (1.2) eşitliğinden her bir değişken için komünaliti değerleri hesaplanır.Bulunan değerlerinin tümü 1’e yakınsa, korelasyon matrisinin faktörleştirilmesinin iyi olduğu söylenir.Eğer bazı değerleri küçük ise bu durumda en az bir faktörün daha çıkartılması gerektiği düşünülür.
Optimal faktör sayısına karar vermede kullanılan bir baka kriter de;

(1.46)

biçimindeki oran değeridir.Bu oran değerinin 2/3’den büyük olması, faktörleştirmenin iyi oluğu anlamına gelir.Aksi durumda daha başka faktörlere ihtiyaç olduğu düşünülür.Böyle durumlarda faktör sayısı bir artırılarak tüm hesaplamalar tekrar yapılır ve işlemler yukarıdaki koşul sağlatılıncaya kadar sürdürülür.(1.46) eşitliğinde verilen oran değerinin 2/3’den büyük olmasının sağlanmasında (1.36)’da verilen hipotez matrisinde bazı değişikliklerin yapılması da gerekebilmektedir.

6.3.2.Ardışık çoklu gruplandırma yöntemi
Bir önceki alt bölümde faktörleşmede çoklu gruplandırma yönteminin uygulanması konu edilmiştir. Söz konusu yöntemde korelasyon matrisindeki ilişki miktarları göz önüne alınarak H ile ifade edilen faktörler hipotez martısı oluşturarak genel çözüme gidilmiştir.
Ardışık çoklu gruplandırma yönteminde ilk olarak ile gösterilen ilk hipotez vektörü korelasyon matrisine uygulanır.bu vektörün oluşturulmasında korelasyon matrisindeki ilişki katsayıları incelenerek değişkenler kümesi belirlenir. Çoklu gruplandırma yönteminde verilmiş olan (1.37) ya da (1.38) eşitliğinden yaralanılarak,

(1.50)


p*1 boyutlu ilk yapı vektörü elde edilir. B u vektör kullanılarak ilk yinelenen p*p boyutlu artıklar matrisi bulunur.

(1.51)

yukarıdaki tanımlandığı biçimde yine ilk p*p boyutlu artıklar matrisine ulaşılır.

(1.51)

Son olarak ile tanımlanan komünalitilerin sonuçlarına göre faktörleştirmeye devam edilip edilmeyeceğine karar verilir.Tüm bu işlemlere birinci adım adı verilir. Eğer faktörleşme sonuçları yeteli bulunmuş ise işlemler sona ermiştir. Faktörleşmenin sürdürülmesi yönünden karar verilmiş ise ikinci adıma geçilir.
İkinci adımda birinci adımda olduğu gibi sırasıyla aynı işlemler izlenir. Önce hipotezi oluşturularak ilk artıklar matrisine uygulanır ve ikinci yapı vektörü bulunur.

(1.53)

yinelen ikinci p*p boyutlu ilişki matrisi de,

(1.54)

bağıntısından elde edilir. Son olarak elde edilen,

(1.55)
ikinci artıklar matrisi ya da komünaliti değerleri incelenerek ya işlemler son verilir ya da üçüncü adıma geçilir.