Eski Mısırlılarda Cebir

İnceleyebildiğiniz kaynaklarda; Mısırlılarda, bugünkü cebirin herhangi bir şeklinin varlığına dair, kesin bilgiler görülmemektedir. Ancak; Mısırlılarda, bugünkü cebir konularına benzeyen, oldukça ilkel cebirin varlığı görülmektedir. Bu konuda a h a   h e s a b ı adı verilen bir hesaplama türüne raslanlmaktadır. Bu hesaplama türü hakkında, Aydın Sayılı Mısırlılarda ve Mezopotamyalılarda Matematik, Astronomi ve Tıp adlı eserinde Berlin ve Rhind Papirüslerine dayanarak şu bilgiyi vermekte;
          A h a kelimesi, grup ya da miktar anlamına gelmektedir. Böyle adlandırma, bir metot görüşü olarak yapılmış olmakla beraber, a h a hesaplarında, "Yanlış ve Deneme yoluyla Yoklayarak çözüm" metodu kullanılmış olduğu görülmektedir. Ayrıca bu usulle, bazı çözümler cebiri hatırlatıyor. Adı geçen eserde; bu tür hesabın nasıl yapıldığına dair, açıklamalı iki örnek verildikten sonra; müsteşrik S. Gantz'a atfen altı örnek belirtmektedir. Bunlar :

1) x/y = 4/3 ; xy = 12

2) xy = 40 ; x = (5/2)y

3) xy = 40 ; x/y = (1/3) + (1/15) = 2/5

4) 10xy = 120 ; y = (3/4)x

5) x² + y² = 100 ; y = (3/4)x

6) a² + b² = 400 ; a = 2x ; b = (3/2)x

       Hemen belirtmek gerekir ki; bu örnekler, Mısırlıların a h a hesabında yaptıklarının, bugünkü cebrik düşünceye göre düzenlenmiş gösterim ve tertip şekilleridir.
          Yukarıdaki altı tip örnekte görülebileceği gibi, problemler hep özel durumları temsil ediyor. Ancak, Aydın Sayılı adı geçen eserinde, bu konuda : "Mısırlı matematikçinin zihninde belli çözüm yollarının ve genel formüllerin bulunduğuna şüphe yoktur. Örneğin a h a hesaplarıyla ilgili papirüslerde, herhangi bir metot söz konusu edilmemesine rağmen, bunlarda özel bir metoda uyulduğu gayet sarih bir şekilde görülmektedir ... Problemlerin pedagojik amaçlarla bu şekilde tertiplenmiş oldukları söylenebilir."

Eski Mısır’dan günümüze ulaşan iki önemli matematik yapıtı Golenişev papirüsü (M.Ö 1900) ile Rhind papirüsüdür (M.Ö 2000–1000). Rhind papirüsünde çok sayıda birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ve çözümleri yer almaktadır. Mısırlılar (M.Ö 2000–1000), birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözümlerinde yanlışı deneme yolunu kullanmışlardır.

Bu yöntem 15. ve 16. yüzyıllarda eski Mısır dışında, Hintliler ve İslam dünyası matematikçileri tarafından da kullanılmıştır. Ayrıca bu yöntemin 16. yüzyıl İtalyan matematikçilerinden Nicole Tartalia, Philipo Calandri ve İspanyol matematikçi Tosca tarafından da kullanıldığı bilinmektedir.

Eski Mısır’da cebirsel denklemlerin çözümlerinde bugün kullandığımız (x, y, x^2,…) gibi semboller kullanılmamıştır. Her şey düzyazı biçiminde yazılmıştır. Rhind papirüsünde “Bir miktar ve bu miktarın yedide birinin toplamı 19 olduğuna göre, bu miktarın büyüklüğü nedir?” şeklinde ifade edilen 24. problemin çözümü bugünkü gösterimlerle aşağıdaki gibi açıklanabilir:

Şekil 1'in olduğu doküman için üst kısımdaki Word Simgesine tıklayınız... 

Şekil 1 incelendiğinde, a / 7 ifadesini tamsayı yapan 7 değerinin bilinmeyen yerine yazıldığı görülmektedir. Elde edilen sonucun doğru sonuç olmadığı düşünülerek, “Bilinmeyen 7 iken sonuç 8 oluyorsa, sonucun 19 olması için bilinmeyen ne olmalıdır?” şeklindeki bir soru ile doğru sonuca ulaşılmaya çalışılmıştır (Ofir ve Arcavi, 1992). Çözüm incelediğinde Eski Mısır’da orantısal düşünmenin matematik yaparken kullanıldığı görülmektedir. Nitekim Eski Mısır’da firavunların hükümdarlığı sürecinde, orantısal düşünme matematiğin merkezinde yer almıştır. Çünkü vergiler, ürün miktarı ile orantılı şekilde alınmakta, binalar inşa edilirken belli orantılara bağlı olarak yapılmaktaydı. Eski Mısır papirüsünden alınan bir problem bu durumu ortaya koymaktadır. “Düşünün ki 450 hektarlık arpaya sahipsiniz ve her 10 hektarın 1 hektarını vergi olarak vermek zorunda olduğunuza göre, bu üründen kaç hektarlık vergi verirsiniz?” (Lumpkin, 1997). Eski Mısır’da doğrusal olmayan denklemler üzerinde de yanlışı deneme yolunun kullanıldığını görmekteyiz. Örneğin, Berlin papirüsünde “İki karenin alanları toplamı 100’dür. Karelerden birinin kenar uzunluğunun üç katı, diğer karenin kenar uzunluğunun dört katına eşit olduğuna göre, karelerin kenar uzunluklarını bulunuz?” sorusunun Mısır’da yapılan çözümü ve modern gösterimi Tablo 1’de verilmiştir.

 Yukarıdaki çözüm incelendiğinde, Eski Mısır’daki insanların, doğrusal olmayan denklemleri çözerken orantısal düşünme ve yanlışı deneme yolları dışında, karekök alma işlemini de kullandıkları görülecektir (Lumpkin, 1997). Sonuç olarak, çeşitli denklemlere ve çözüm yöntemlerine rastlansa da, Eski Mısır’da bugünkü anlamda cebirin bir bilim olarak var olduğuna söylemek oldukça zordur (Smith, 1925).

Eski Mısır’da olduğu gibi cebir üzerine çalışmaları Babillilerde de görmekteyiz. Eski Mısır’da cebir üzerine yürütülen çalışmalar yanlışı deneme ve orantısal düşünme üzerine dayalı iken Babillilerde geometrik bir düşünce yapısıyla ikinci derece denklemlerin ve doğrusal denklem sistemlerinin çözümünün yapıldığı görülmektedir.

iyi